Selasa, 19 Februari 2013

Perpangkatan


Mengingat kembali
Pangkat Dua Suatu Bilangan
Di kelas V kita telah mengenal bilangan pangkat dua.
Misalnya 82 dan 92.
52 artinya 8 × 8 sehingga dapat ditulis 82 = 64, 92 artinya 9 × 9 sehingga dapat ditulis 92 = 81.
64 dan 81, disebut bilangan kuadrat.
Sekarang kita perhatikan pola berikut:
92   = 9 x 9
      = (9 – 1) x (9 + 1) + 12 = 8 x 10 + 1 = 81
      = (9 – 2) x (9 + 2) + 22 = 7 x 11 + 4 = 81
      = (9 – 3) x (9 + 3) + 32 = 6 x 12 + 9 = 81

962 = 96 x 96 = 9216
      = (96 – 4) x (96 + 4) + 42 = 92 x 100 + 16 = 9216

1042 = 104 x 104 = 10816
  = (104 – 4) x (104 + 4) + 42 = 100 x 108 + 16 = 10816
Secara umum diperoleh:
a2 = (a – b) x (a + b) + b2





Penarikan Akar Pangkat Tiga

Jika sebuah bilangan dikalikan sebanyak tiga kali dengan dirinya sendiri disebut bilangan pangkat tiga. Contoh : 5 X 5 X 5 dibaca lima pangkat tiga atau ditulis 53 dan hasilnya adalah 125 dan 125 disebut  bilangan kubik karena bilangan-bilangan itu dapat dinyatakan sebagai pangkat tiga dari suatu bilangan.
Jadi pangkat tiga adalah mengalikan bilangan yang sama sebanyak tiga kali.
Ada 3 cara penarikan akar tiga
1.      Teknik Perkiraan
Pada teknik ini harus hafal bilangan kubik ≤ 1000.
Tabel Bilangan Hasil Pangkat Tiga
Bilangan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Hasil Pangkat Tiga
 1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
Angka Akhir
1
8
7
4
5
6
3
2
9
0
Angka akhir merupakan angka kunci.
Contoh:
34. 096
                     Bilangan pangkat tiga dengan angka akhir 6 adalah 63 = 216
13= 1 (hasil pangkat tiga yang mendekati 4 adalah 13 = 1)
1 puluhan                                            +                                              6 satuan = 16
Bukti : 16 x 16 16 = 4. 096
Jadi, 3√4. 096 = 16

 319. 683
                     Bilangan pangkat tiga dengan angka akhir 3 adalah 73 = 234
23= 8 (hasil pangkat tiga yang mendekati 19 adalah 23 = 8)
2 puluhan                                            +                                              7 satuan = 27
Bukti : 27 x 27 x 27 = 19. 683
Jadi, 3√19. 683= 27




2.      Menggunakan Faktorisasi Prima
Langkah-langkah:
1.      Tentukan faktor prima
2.      Kelompokkan tiap – tiap 3 faktor yang sama, sehingga dapat diganti dengan faktorisasi prima berpangkat tiga.
3.      Bilangan berpangkat tiga apabila ditarik akar pangkatnya, maka hasilnya bilangan tersebut.
Contoh:
Carilah
1.      Faktor prima dari 4.096 adalah 2, 4.096  = 212
2.      Pengelompokan tiap-tiap 3 faktor prima yang sama
      4.096  = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)
       = 23 × 23 × 23 × 23
Jadi,
 =  = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

3.      Teknik Calandra

1.      Kelompokan tiga angka dari belakang
312 812 904
2.      Cari bilangan terbesar yang jika dipangkatkan tiga hasilnya ≤ 12
bilangan itu adalah 2 sebab 23 ≤ 12
312 812 904
                            23 = 8                         
                                   4 812
2 artinya 2 puluhan atau 20
3.  Cari bilangan terbesar yang menenuhi hubungan:
[(3 x 202) + 3 x 20 x ... +...2] x ... ≤ 4812
Bilangan tersebut adalah 3
[(3 x 202) + 3 x 20 x 3 + 32] x 3 ≤ 4812

312 812 904
23 = 8     
                         4 812     

                   [(3 x 202) + 3 x 20 x ... +...2] x ... ≤ 4812
[(3 x 202) + 3 x 20 x 3 + 32] x 3 =    4 617     
                                                                                  195 904
                                      23 artinya 23 ratusan (230)
4.  Cari bilangan terbesar yang memenuhi hubungan:
[(3 x 2302) + 3 x 230 x ... +...2] x ... ≤ 195904
Bilangan itu adalah 4, karena:
[158700 + 690 x 4 + 42] x 4 ≤ 195904
Jadi,  = 234




Teknik Calandra secara singkat

   312 812 904
23 = 8     
                         4 812    
                   [(3 x 202) + 3 x 20 x ... +...2] x ... ≤ 4812
[(3 x 202) + 3 x 20 x 3 + 32] x 3   = 4 617    
                                                                                  195 904
                     [(3 x 2302) + 3 x 230 x .. +...2] x .. ≤     195904
                      [158700 + 690 x 4 + 42] x 4            = 195904      
                                                                                      0


Sumber : P4TK Yogyakarta
                 Beberapa Artikel Matematika

0 komentar:

Poskan Komentar