Perpangkatan

Mengingat kembali

Pangkat Dua Suatu Bilangan

Di kelas V kita telah mengenal bilangan pangkat dua.

Misalnya 8² dan 9².

5² artinya 8 × 8 sehingga dapat ditulis 8² = 64, 9² artinya 9 × 9 sehingga dapat ditulis 9² = 81.
64 dan 81, disebut bilangan kuadrat.

Sekarang kita perhatikan pola berikut:

9²   = 9 x 9

      = (9 – 1) x (9 + 1) + 1² = 8 x 10 + 1 = 81

      = (9 – 2) x (9 + 2) + 2² = 7 x 11 + 4 = 81

      = (9 – 3) x (9 + 3) + 3² = 6 x 12 + 9 = 81

96² = 96 x 96 = 9216

      = (96 – 4) x (96 + 4) + 4² = 92 x 100 + 16 = 9216

104² = 104 x 104 = 10816

  = (104 – 4) x (104 + 4) + 4² = 100 x 108 + 16 = 10816

Secara umum diperoleh:

a² = (a – b) x (a + b) + b²

Penarikan Akar Pangkat Tiga

Jika sebuah bilangan dikalikan sebanyak tiga kali dengan dirinya sendiri disebut bilangan pangkat tiga. Contoh : 5 X 5 X 5 dibaca lima pangkat tiga atau ditulis 5³ dan hasilnya adalah 125 dan 125 disebut  bilangan kubik karena bilangan-bilangan itu dapat dinyatakan sebagai pangkat tiga dari suatu bilangan.

Jadi pangkat tiga adalah mengalikan bilangan yang sama sebanyak tiga kali.

Ada 3 cara penarikan akar tiga

1.      Teknik Perkiraan

Pada teknik ini harus hafal bilangan kubik ≤ 1000.

Tabel Bilangan Hasil Pangkat Tiga

Bilangan	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Hasil Pangkat Tiga	1	8	27	64	125	216	343	512	729	1000
Angka Akhir	1	8	7	4	5	6	3	2	9	0

Angka akhir merupakan angka kunci.

Contoh:

³√4. 096

                     Bilangan pangkat tiga dengan angka akhir 6 adalah 6³ = 216

1³= 1 (hasil pangkat tiga yang mendekati 4 adalah 1³ = 1)

1 puluhan                                            +                                              6 satuan = 16

Bukti : 16 x 16 16 = 4. 096

Jadi, ³√4. 096 = 16

 ³√19. 683

                     Bilangan pangkat tiga dengan angka akhir 3 adalah 7³ = 234

2³= 8 (hasil pangkat tiga yang mendekati 19 adalah 2³ = 8)

2 puluhan                                            +                                              7 satuan = 27

Bukti : 27 x 27 x 27 = 19. 683

Jadi, ³√19. 683= 27

2.      Menggunakan Faktorisasi Prima

Langkah-langkah:

1.      Tentukan faktor prima

2.      Kelompokkan tiap – tiap 3 faktor yang sama, sehingga dapat diganti dengan faktorisasi prima berpangkat tiga.

3.      Bilangan berpangkat tiga apabila ditarik akar pangkatnya, maka hasilnya bilangan tersebut.
Contoh:

Carilah

1.      Faktor prima dari 4.096 adalah 2, 4.096  = 2¹²

2.      Pengelompokan tiap-tiap 3 faktor prima yang sama
      4.096  = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2)
       = 2³ × 2³ × 2³ × 2³
Jadi,  =  = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

3.      Teknik Calandra

1.      Kelompokan tiga angka dari belakang

³√12 812 904

2.      Cari bilangan terbesar yang jika dipangkatkan tiga hasilnya ≤ 12

bilangan itu adalah 2 sebab 2³ ≤ 12

³√12 812 904

                            2³ = 8                         

                                   4 812

2 artinya 2 puluhan atau 20

3.  Cari bilangan terbesar yang menenuhi hubungan:

[(3 x 20²) + 3 x 20 x ... +...²] x ... ≤ 4812

Bilangan tersebut adalah 3

[(3 x 20²) + 3 x 20 x 3 + 3²] x 3 ≤ 4812

³√12 812 904

2³ = 8     

                         4 812     

                   [(3 x 20²) + 3 x 20 x ... +...²] x ... ≤ 4812

[(3 x 20²) + 3 x 20 x 3 + 3²] x 3 =    4 617     

                                                                                  195 904

                                      23 artinya 23 ratusan (230)

4.  Cari bilangan terbesar yang memenuhi hubungan:

[(3 x 230²) + 3 x 230 x ... +...²] x ... ≤ 195904

Bilangan itu adalah 4, karena:

[158700 + 690 x 4 + 4²] x 4 ≤ 195904

Jadi,  = 234

Teknik Calandra secara singkat

   ³√12 812 904

2³ = 8     

                         4 812    

                   [(3 x 20²) + 3 x 20 x ... +...²] x ... ≤ 4812

[(3 x 20²) + 3 x 20 x 3 + 3²] x 3   = 4 617    

                                                                                  195 904

                     [(3 x 230²) + 3 x 230 x .. +...²] x .. ≤     195904

                      [158700 + 690 x 4 + 4²] x 4            = 195904      

                                                                                      0

Sumber : P4TK Yogyakarta

                 Beberapa Artikel Matematika